Varyans nasıl hesaplanır? Örnekler

Varyans, bir veri setindeki değerlerin, ortalamadan ne kadar farklı olduklarının ölçüsüdür. Bir başka deyişle, varyans, veri setinin dağılımının ne kadar geniş veya dar olduğunu belirler. Varyans, istatistiksel analizlerde sıklıkla kullanılır ve birçok farklı alanda uygulanır.

Varyansın hesaplanması, veri setindeki her bir değerin ortalamadan ne kadar farklı olduğunun karelerinin toplamının, değerlerin sayısının bir eksiği ile bölünmesiyle gerçekleştirilir. Bu formül şu şekildedir:

Varyans = Σ(x – x̄)² / (n – 1)

Burada, x veri setindeki her bir değeri, x̄ ise veri setinin ortalamasıdır. n ise veri setindeki değerlerin sayısını temsil eder.

Örnek olarak, bir sınıftaki öğrencilerin notlarını ele alalım. Aşağıdaki tabloda öğrencilerin aldıkları notlar verilmiştir:

Öğrenci	Notu
A	70
B	80
C	90
D	85
E	75

Bu veri setinin ortalaması şu şekilde hesaplanır:

x̄ = (70 + 80 + 90 + 85 + 75) / 5 = 80

Şimdi, her bir öğrencinin notu ortalamadan ne kadar farklı diye hesaplayalım ve karelerini alalım:

Öğrenci	Notu	x – x̄	(x – x̄)²
A	70	-10	100
B	80	0	0
C	90	10	100
D	85	5	25
E	75	-5	25

Şimdi, tüm öğrencilerin notlarındaki farkları karelerinin toplamını bulalım:

Σ(x – x̄)² = 100 + 0 + 100 + 25 + 25 = 250

Son olarak, varyansı hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanabiliriz:

Varyans = Σ(x – x̄)² / (n – 1) = 250 / (5 – 1) = 62.5

Bu örnekte, sınıftaki öğrencilerin notları arasındaki dağılımın ne kadar geniş olduğunu belirlemek için varyans hesaplandı.

Başka bir örnek olarak, bir markette bir ürünün günlük satışlarını ele alalım. Aşağıdaki tabloda, bir hafta boyunca her günün satış rakamları verilmiştir:

Varyans, bir veri setindeki değerlerin, ortalamadan ne kadar farklı olduklarının ölçüsüdür. Bir başka deyişle, varyans, veri setinin dağılımının ne kadar geniş veya dar olduğunu belirler. Varyans, istatistiksel analizlerde sıklıkla kullanılır ve birçok farklı alanda uygulanır.

Varyansın hesaplanması, veri setindeki her bir değerin ortalamadan ne kadar farklı olduğunun karelerinin toplamının, değerlerin sayısının bir eksiği ile bölünmesiyle gerçekleştirilir. Bu formül şu şekildedir:

Varyans = Σ(x – x̄)² / (n – 1)

Burada, x veri setindeki her bir değeri, x̄ ise veri setinin ortalamasıdır. n ise veri setindeki değerlerin sayısını temsil eder.

Örnek olarak, bir sınıftaki öğrencilerin notlarını ele alalım. Aşağıdaki tabloda öğrencilerin aldıkları notlar verilmiştir:

Öğrenci Notu
A 70
B 80
C 90
D 85
E 75
Bu veri setinin ortalaması şu şekilde hesaplanır:

x̄ = (70 + 80 + 90 + 85 + 75) / 5 = 80

Şimdi, her bir öğrencinin notu ortalamadan ne kadar farklı diye hesaplayalım ve karelerini alalım:

Öğrenci Notu x – x̄ (x – x̄)²
A 70 -10 100
B 80 0 0
C 90 10 100
D 85 5 25
E 75 -5 25
Şimdi, tüm öğrencilerin notlarındaki farkları karelerinin toplamını bulalım:

Σ(x – x̄)² = 100 + 0 + 100 + 25 + 25 = 250

Son olarak, varyansı hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanabiliriz:

Varyans = Σ(x – x̄)² / (n – 1) = 250 / (5 – 1) = 62.5

Bu örnekte, sınıftaki öğrencilerin notları arasındaki dağılımın ne kadar geniş olduğunu belirlemek için varyans hesaplandı.

Başka bir örnek olarak, bir markette bir ürünün günlük satışlarını ele alalım. Aşağıdaki tabloda, bir hafta boyunca her günün satış rakamları verilmiştir:

| Gün | Satışlar |
|——-|

| Pazartesi | 50 |
| Salı | 45 |
| Çarşamba | 55 |
| Perşembe | 60 |
| Cuma | 70 |
| Cumartesi | 80 |
| Pazar | 90 |

Bu veri setinin ortalaması şu şekilde hesaplanır:

x̄ = (50 + 45 + 55 + 60 + 70 + 80 + 90) / 7 = 65

Şimdi, her bir günün satışları ortalamadan ne kadar farklı diye hesaplayalım ve karelerini alalım:

Gün	Satışlar	x – x̄	(x – x̄)²
Pazartesi	50	-15	225
Salı	45	-20	400
Çarşamba	55	-10	100
Perşembe	60	-5	25
Cuma	70	5	25
Cumartesi	80	15	225
Pazar	90	25	625

Tüm günlerdeki satışların farklarının karelerinin toplamı şu şekilde hesaplanır:

Σ(x – x̄)² = 225 + 400 + 100 + 25 + 25 + 225 + 625 = 1625

Son olarak, varyansı hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanabiliriz:

Varyans = Σ(x – x̄)² / (n – 1) = 1625 / (7 – 1) = 270.83

Bu örnekte, bir hafta boyunca marketteki bir ürünün günlük satışları arasındaki dağılımın ne kadar geniş olduğunu belirlemek için varyans hesaplandı.

Varyansın hesaplanması sırasında, veri setindeki her bir değerin ortalamadan ne kadar farklı olduğunun karesi alınır. Bu nedenle, veri setindeki değerlerin ortalamaya yakın olması durumunda, varyans düşük olacaktır. Ancak, veri setindeki değerlerin ortalamadan uzaklaştığı durumlarda, varyans yüksek olacaktır. Bu nedenle, varyans, veri setindeki değerlerin ne kadar homojen veya heterojen olduğunu belirleyen önemli bir istatistiksel ölçüttür.

Varyansın hesaplanması ayrıca, veri setindeki anormallikleri tespit etmek için de kullanılabilir. Eğer bir veri noktası, diğer veri noktalarına göre çok uzakta ise, varyans yüksek olacaktır. Bu durumda, anormal veri noktasının veri setindeki etkisi ortaya çıkacaktır.

Varyansın kullanımı sadece istatistiksel analizlerle sınırlı değildir. Birçok farklı alanda kullanılmaktadır. Örneğin, mühendislikte, varyans, verilerin güvenilirliğini ve doğruluğunu kontrol etmek için kullanılır. Bir mühendis, bir ürünün ömrünü hesaplamak için kullanılan verilerin varyansını hesaplayarak, verilerin ne kadar güvenilir olduğunu ve ürünün ne kadar sürede hasar görebileceğini belirleyebilir.